Ukuran gejala pusat adalah suatu ukuran yang diunakan untuk mengetahui kumpulan data mengenai sampel atau populasi yang disajikan dalam tabel atau diagram, yang dapat mewakili sampel atau populasi. Jenis-jenis pengukuran pusat yaitu :
I. Rata-Rata Hitung (Mean) Mean merupakan nilai yang diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai data dan membaginya dengan jumlah data. Mean merupakan nilai yang menunjukkan pusat dari nilai data dan merupakan nilai yang dapat mewakili dari keterpusatan data.
1. Rata-Rata Hitung Populasi
Merupakan nilai rata-rata dari data semua anggota suatu ekosistem atau keseluruhan anggota dari suatu kelompok (populasi). Rumus rata-rata hitung populasi adalah :
Atau bisa juga di tulis :
Contoh : Berikut ini adalah nilai kredit dalam triliun rupiah yang disalurkan oleh lima bank terbesar di Indonesia pada tahun 2006. Berapa rata-rata hitung harga sahamnya ?
Bank di Indonesia
|
Nilai Kredit yang disalurkan (triliun Rp)
|
Danamon
|
41
|
BRI
|
90
|
BCA
|
61
|
Mandiri
|
117
|
BNI
|
66
|
Penyelesaiannya :
Jadi rata-rata nilai kredit dari lima bank terbesar di Indonesia pada tahun 2006 adalah Rp 75 triliun.
2. Rata-Rata Hitung Sampel
Karena adanya keterbatasan waktu, biaya, dan tenaga untuk mencari rata-rata hitung populasi, maka ada teknik rata-rata hitung suatu bagian atau proporsi dari populasi tertentu yang menjadi kajian atau perhatian (sampel). Rumus rata-rata hitung sampel adalah :
Atau bisa juga ditulis
Contoh : Pada tahun 2007 di BEJ tercatat 350 emiten. Misalkan, dari seluruh emiten, sebanyak 37 perusahaan mengumumkan akan membagikan dividen untuk tahun buku 2006. Dari 37 emiten tersebut, 9 perusahaan diambol laporan kinerja keuangannya. Data kinerja keuangan dari 9 perusahaan tersebut adalah sebagai berikut:
| No. | Nama Perusahaan | Total Aset (Rp miliar) | Laba Bersih |
| 1 | PT Indosat | 22.598 | 436 |
| 2 | PT Telkom | 42.253 | 7.568 |
| 3 | PT Aneka Tambang | 2.508 | 123 |
| 4 | PT Astra Agro Lestari | 2.687 | 180 |
| 5 | PT Bimantara Citra | 4.090 | 392 |
| 6 | PT Alfa Retailindo | 603 | 25 |
| 7 | PT H.M. Sampoerna | 10.137 | 1.480 |
| 8 | PT Mustika Ratu | 287 | 15 |
| 9 | PT Astra Graphia | 796 | 65 |
Dari data di atas, hitunglah rata-rata sampel untuk total aset. 37 perusahaan merupakan populasi dan 9 perusahaan merupakan sampel, maka penyelesaiaannya :
Jadi rata-rata hitung total aset dari perusahaan sampel yang membagikan dividen adalah Rp 9.551 miliar
3. Rata-Rata Hitung Tertimbang
Pada perhitungan rata-rata hitung populasi dan sampel, setiap data dianggap mempunyai tingkat atau bobot yang sama. Namun, dalam beberapa kasus ada data yang dipandang mempunyai bobot yang berbeda. Bobot yang berbeda dari data tersebut dikarenakan pengaruh waktu dan pengaruh volume. Untuk itu beberapa ahli ekonomi dan statistik mempertimbangkan adanya pembobotan data berdasarkan pertimbangan-pertimbangan yang logis. Jadi Rata-Rata Hitung Tertimbang adalah suatu nilai yang diperoleh dari suatu kelompok data yang dinyatakan sebagai X1, X2, X3, …. X n berturut-turut ditimbang dengan bobot W1, W2, W3, …. Wn. Rumus Rata-rata hitung tertimbang adalah:
Dapat disederhanakan menjadi
Contoh : CV Era Jaya merupakan produsen sepatu dengan skala kecil di Tangerang. Kondisi produksi dan tenaga kerka selama seminggu adalah sebagai berikut :
| Jumlah Tenaga Kerja (orang) | Produksi (buah) |
| 5 | 250 |
| 10 | 800 |
| 6 | 600 |
| 8 | 900 |
| 4 | 200 |
Hitunglah rata-rata produksi per hari dengan pembobot jumlah tenaga kerjanya Penyelesaiannya :
Jadi, rata-rata produksi per-harinya adalah 632 buah.
4. Rata-Rata Data Berkelompok
Pengertian data berkelompok adalah data yang sudah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi. Data-data yang sudah dikelompokkan dalam suatu kelas akan memiliki karakteristik yang sama, dan dalam suatu kelas dicerminkan oleh nilai tengah kelasnya. Oleh sebab itu, rata-rata hitung untuk data berkelompok baik populasi maupun sampel dirumuskan sebagai berikut :
Contoh : berikut adalah data yang sudah dikelompokkan dari 20 saham pilihan pada bulan Juni 2007. Hitunglah nilai rata-ratanya
Interval Harga Saham
|
Nilai Tengah Kelas
|
Frekuensi
|
160-303
|
231,5
|
2
|
304-447
|
375,5
|
5
|
448-591
|
519,5
|
9
|
592-735
|
663,5
|
3
|
736-879
|
807,5
|
1
|
Penyelesaiannya :
Jadi, rata-rata harga saham pilihan untuk 20 perusahaan adalah Rp 490,7 per lembar
5. Sifat Rata-Rata Hitung
- Setiap kelompok baik dalam bentuk skala interval maupun rasio mempunyai rata-rata hitung
- Semua nilai data harus dimasukkan ke dalam perhitungan rata-rata hitung
- Satu kelompok baik kelas maupun satu kesatuan dalam populasi dan sampel hanya mempunyai satu rata-rata hitung
- Rata-rata hitung untuk membandingkan karakteristik dua atau lebih populasi atau sampel
- Rata-rata hitung sebagai satu-satunya ukuran pemusatan, maka jumlah deviasi setiap nilai terhadap rata-rata hitungnya selalu sama dengan nol
- Rata-rata hitung sebagai titik keseimbangan dari keseluruhan data, maka letaknya berada ditengah data
- Rata-rata hitung nilainya sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrem yaitu nilai yang sangat besar atau sangat kecil
- Bagi data dan sekelompok data yang sifatnya terbuka ( lebih dari atau kurang dari) tidak mempunyai rata-rata hitung.
II. Median
Median merupakan salah satu ukuran pemusatan. Suatu nilai yang berada di tengah-tengah data, setelah data tersebut diurutkan. Atau dengan kata lain, Median adalah titik tengah dari semua nilai data yang telah diurutkan dari nilai yang terkecil ke yang terbesar, atau sebaliknya dari yang terbesar ke yang terkecil.
1. Median untuk Data Tidak Berkelompok
Adalah nilai yang letaknya di tengah data yang telah diurutkan, namun datanya belum dikelompokkan ke dalam kelas/kategori tertentu atau belum dalam bentuk distribusi frekuensi. Cara untuk mencari nilai median di data tidak berkelompok:
- Letak dari median dapat dicari dengan rumus (n+1)/2
- Apabila jumlah datanya ganjil, maka nilai median merupakan nilai yang letaknya di tengah data.
- Apabila jumlah datanya genap, maka nilai median merupakan nilai rata-rata dari dua data yang letaknya berada di tengah.
Contoh : berikut adalah rencana penambahan pesawat dari 6 perusahaan maskapai penerbangan nasional pada tahun 2007.
No.
|
Nama Maskapai Penerbangan
|
Unit Rencana Penambahan
|
1
|
Garuda Indonesia
|
8
|
2
|
Merpati Nusantara
|
8
|
3
|
Lion Air
|
30
|
4
|
Pelita Air Service
|
3
|
5
|
Adam Air
|
6
|
6
|
Mandala Airlines
|
2
|
Penyelesaian letak dan nilai mediannya :
- Menentukan letak median (n+1)/2 = (6+1)/2 = 3,5
- Mengurutkan data dari yang terbesar ke yang terkecil, urutannya menjadi :
Urutan nilai : 30 8 8 6 3 2
Urutan letak : 1 2 3 4 5 6
- Letak median 3,5 terletak antara urutan letak 3 dan 4. Nilai median adalah ke- 3 ditambah nilai ke- 4 dibagi 2 yaitu (8+6)/2 = 7 Jadi, nilai mediannya adalah 7.
2. Median untuk Data Berkelompok
Pengertian median untuk data berkelompok tetaplah sama yaitu nilai yang letaknya ada di tengah data, sehingga data berada setengahnya di atas dan setengahnya di bawah. Yang membedakannya adalah pada data berkelompok nilai informasi atau karakteristik dari masing-masing data tidak dapat diidentifikasi lagi, yang dapat diketahui hanya karakter dari kelas atau intervalnya. Akibatnya akan terdapat kesulitan dalam menentukan nilai median yang tepat pada suatu interval kelas. Oleh sebab itu, pengukuran dilakukan dengan cara sebagai berikut:
- Menentukan letak kelas dimana nilai median berada. Letak median untuk data berkelompok adalah n/2, dimana n adalah jumlah frekuensi.
- Melakukan interpolasi di kelas median untuk mendapatkan nilai median dengan rumus sebagai berikut:
Contoh : hitunglah median dari 20 harga saham pilihan pada bulan Juni 2007 di BEJ
Interval Harga Saham
|
Nilai Tengah Kelas
|
Frekuensi
|
160-303
|
231,5
|
2
|
304-447
|
375,5
|
5
|
448-591
|
519,5
|
9
|
592-735
|
663,5
|
3
|
736-879
|
807,5
|
1
|
Penyelesaiannya:
- Menentukan letak kelas median yaitu n/2. Karena ada 20 harga saham pilihan bulan Juni 2007, maka letak median 20/2 = 10
- Nilai 10 terletak pada kelas ke-3 dengan interval 448-591
- Menggunakan rumus untuk menentukan mediannya
Jadi, nilai median dari 20 harga saham pilihan pada bulan Juni 2007 di BEJ adalah 495,17
Sifat-Sifat Median
- Nilai median bersifat unik, untuk sekelompok data hanya ada satu nilai median
- Untuk menentukan nilai median harus dilakukan pengurutan data dari yang terkecil ke terbesar atau sebaliknya.
- Nilai median tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem seperti halnya nilai rata-rata hitung
- Median dapat dihitung untuk sebuah distribusi frekuensi dengan kelas interval yang terbuka
- Semua skala pengukuran baik rasio, interval, dan ordinal dapat digunakan untuk mencari nilai median
III. Modus
Modus merupakan salah satu ukuran pemusatan di samping rata-rata hitung dan median. Modus adalah suatu nilai pengamatan yang paling sering muncul. Modus sebagai ukuran pemusatan memiliki kelebihan dan kekurangan. Kelebihan modus adalah mudah ditemukan, dapat digunakan untuk semua skala pengukuran, serta tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Kelemahannya, terkadang sekumpulan data tidak memiliki modus atau memiliki modus lebih dari satu. Cara untuk mencari modus :
- Untuk data tidak berkelompok, maka modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi yang paling banyak.
- Untuk data berkelompok, maka modus diperoleh dari rumus sebagai berikut:
Contoh : hitunglah modus dari 20 harga saham pilihan pada bulan Juni 2007 di BEJ
Interval Harga Saham
|
Nilai Tengah Kelas
|
Frekuensi
|
160-303
|
231,5
|
2
|
304-447
|
375,5
|
5
|
448-591
|
519,5
|
9
|
592-735
|
663,5
|
3
|
736-879
|
807,5
|
1
|
Penyelesaiannya:
- Menentukan kelas modus yaitu kelas interval dengan frekuensi yang paling sering muncul. Frekuensi paling banyak adalah 9, maka nilai modus berada pada kelas 448-591.
- Menggunakan rumus untuk menentukan modusnya :
Jadi, modusnya adalah 504,7 yaitu nilai saham pilihan yang paling sering muncul.
Daftar Pustaka :
Purwanto & Suharyadi, (2007), Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern ed 2, Jakarta: Salemba Empat
